ECUACION DE UNA INCOGNITA

Ecuación de 1 incognita
Las Ecuaciones de primer grado de una incógnita son igualdades en las que se tiene sólo una incógnita. Esta incógnita está representada por una letra o algún otro símbolo.Las ecuaciones de primer grado suele llamárseles también ecuaciones lineales, pues su gráfica es una línea recta. En este caso particular, de ecuaciones de una incógnita, las gráficas de estas ecuaciones son líneas perfectamente horizontales o verticales.Resolver una ecuación linear de una incógnita es encontrar el valor (o los valores) que satisface la ecuación, es decir, el valor que al sustituirlo por la variable se confirma que los dos miembros de la ecuación son verdaderamente iguales. El procedimiento para encontrar este valor se llama Despeje.

EJEMPLO DE EJERCICIOS DE 1 INCOGNITA

Ejemplo
La suma de las edades de A y B es 84 años, y B es 8 años menos que A. Hallar ambas
edades.
Soluciòn:
Sea x=edad de A.
Como B tiene 8 años menos que A; x-8=edad de B.
La suma de ambas edades es 84 años; luego tenemos la ecuaciòn:
x + x 8 = 84
Resolviendo està ecuaciòn con la calculadora, tenemos x=46, la cual representa la edad
de A.
La edad de B serà x 8 = 46 8 = 38 años.
Nota la verificaci´on de los resultados es importante porque permite percatarse si se
satisfacen las condiciones iniciales del problema.
En este caso las condiciones iniciales ser´ıa que la suma de las edades de A y B son 84,
como efectivamente es, pues; 46+38=84.

METODOS PARA APLICAR

MÉTODO DE IGUALACIÓN
El método de igualación consiste es una pequeña variante del antes visto de sustitución para resolver un sistema de ecuación por este método hay que despejar una incógnita la misma en las 2 ecuaciones igualar el resultado de acción de primer grado, las fases del proceso son las siguientes:
1. se detecta la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. se igualan las expresiones obtenidas y se resuelva ecuación lineal de una incógnita.
3. se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo para hallar en una de las ecuaciones despejadas del primer paso.
EJEMPLO:
a = b + c a = 5 b = 3 c = 2
5=3+2
5=5
3X2 =4X + 15
3(3)2 = 4(3) + 15
3.9 = 12 + 15
27 = 27
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
1. se despeja una incógnita de una de las ecuaciones.
2. se sustituye la expresión de una incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3. se resulve la ecuación.
4. el valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. los 2 valores obtenidos constituyen la solución del sistema
EJEMPLO:
X= 4 - 3Y
2

5X+7Y=11

5(4-3Y)+7Y=11
2

20 - 15Y +7Y =11
2

20-15Y+14Y=22 de donde y =-2

X= 4 - 3(-2) = 10 = 5
2 2
Método de reducción
El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una ecuación con una incógnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incógnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la segunda.
Tomemos como ejemplo el sistema:
X + Y = 5
-X +2y = 4
En este caso la x, ya tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de signo y no es necesario hacer ninguna operación para lograrlo; podemos sumar las dos ecuaciones directamente:
X + Y = 5
-X + 2Y = 4
3Y = 9
como resultado de la suma tenemos una sola ecuación con una incógnita:
3Y = 9
despejando la y, tenemos:
Y = 9
3
que haciendo la operación da:
Y = 3
Para calcular el valor de x, sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones, por ejemplo la primera:
X + 3 = 5
despejando x, tenemos:
X = 5 - 3
que realizando la operación da como resultado:
X = 2
Y = 3
el resultado del sistema es el valor de x e y que satisface las dos ecuaciones simultáneamente, que como ya sabíamos es:
X + Y = 5
-X +2y = 4
En este caso era muy fácil dado que la x ya tenía el mismo coeficiente cambiado de signo en una y otra ecuación. Podemos resolver el mismo sistema, pero esta vez eliminando la y:
2X + 2Y = 10
X - 2y = -4

vemos que el coeficiente de la y de la primera ecuación es 1 y el de la segunda, 2; si multiplicamos la primera ecuación por 2, y la segunda la cambiamos de signo, tendremos:
2X + 2Y = 10
X - 2Y = -4
con lo que tenemos que la y tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de signo. Sumando las dos ecuaciones:
2X + 2Y = 10
X - 2Y = -4
3X = 6
así tenemos una ecuación con una incógnita:
3X = 6
despejando la x:
X = 6
3
el valor de x que obtenemos es:
X = 2
para calcular y sustituimos el valor obtenido de x en una de las ecuaciones, la primera de ellas por ejemplo:
2 +Y = 5
que despejando la y tendremos:
Y = 5 - 2
con lo que tenemos:
Y = 3
Como puede verse en el ejemplo resuelto, el método de reducción consiste en operar el sistema de modo que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones pero cambiado de signo; al sumar las dos ecuaciones el sistema se reduce a una ecuación con una incógnita que despejamos. Con este valor sustituido en una de las ecuaciones iniciales calculamos la segunda incógnita. Es indistinto que se haga con la x o con la y, en los dos casos obtendremos el mismo resultado

SOLUCION NUMERICA DE 2 INCOGNITAS

RESOLUCIÓN NUMÉRICA
Quizás ya hayas trabajado en clase resolviendo sistemas de ecuaciones y que existen varios métodos para ello. Por ejemplo el primer sistema que resolvimos en el ejercicio 1:
Se resuelve fácilmente por cualquiera de ellos:

Por sustitución:
- 1 - Se despeja una incógnita en una ecuación, por ejemplo la y en la primera: y = -2x
- 2 - Se sustituye dicho valor en la segunda: x - 2x = -1
- 3 - Se resuelve esta ecuación: -x = -1 ; x = 1
- 4 - Con este valor se halla el de la otra incógnita (paso 1): y = -2
Solución que naturalmente coincide con la obtenida antes gráficamente.

Por reducción:
-1 - Se consigue que en al sumar o restar ambas ecuaciones, miembro a miembro se elimine una incónita. Para ello se simplifica todo lo posible y se multiplica, si es necesario alguna ecuación por algún número. En este caso se pueden restar directamente una ecuación de la otra y se elimina la y : 1ª - 2ª : x = 1
- 2 - Se resuelve la ecuación resultante. En este caso ya lo está ya que hemos obtenido directamente la solución para la x:
x = 1
- 3 - Se sustituye esta solución en una de las dos ecuaciones y se resuelve hallando la otra incógnita. En este caso, sustituyendo x = 1 en cualquiera de las dos ecuacioens se obtiene fácilmente y = -2.

SOLUCION NUMERICA DE 2 INCOGNITAS

RESOLUCIÓN NUMÉRICA

Quizás ya hayas trabajado en clase resolviendo sistemas de ecuaciones y que existen varios métodos para ello. Por ejemplo el primer sistema que resolvimos en el ejercicio 1:
Se resuelve fácilmente por cualquiera de ellos:

Por sustitución:
- 1 - Se despeja una incógnita en una ecuación, por ejemplo la y en la primera: y = -2x
- 2 - Se sustituye dicho valor en la segunda: x - 2x = -1
- 3 - Se resuelve esta ecuación: -x = -1 ; x = 1
- 4 - Con este valor se halla el de la otra incógnita (paso 1): y = -2
Solución que naturalmente coincide con la obtenida antes gráficamente.

Por reducción:
-1 - Se consigue que en al sumar o restar ambas ecuaciones, miembro a miembro se elimine una incónita. Para ello se simplifica todo lo posible y se multiplica, si es necesario alguna ecuación por algún número. En este caso se pueden restar directamente una ecuación de la otra y se elimina la y : 1ª - 2ª : x = 1
- 2 - Se resuelve la ecuación resultante. En este caso ya lo está ya que hemos obtenido directamente la solución para la x:
x = 1
- 3 - Se sustituye esta solución en una de las dos ecuaciones y se resuelve hallando la otra incógnita. En este caso, sustituyendo x = 1 en cualquiera de las dos ecuacioens se obtiene fácilmente y = -2.
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